[快樂數(shù)學(xué)]一個"有趣"的公式
咳咳，少廢話直接開始吧。
【資料圖】
1.引子
這一次的討論要從一個求和開始。
這個樣貌一看就是一個級數(shù)的和。
抓到一個級數(shù) ，應(yīng)當(dāng)先判斷它收不收斂。
不過我都拿出來討論了，當(dāng)然是收斂的啦。這瓜保熟!
額，先說明一下符號。
n!!的“!”不是感嘆號，兩個“!”連用是雙階乘。
意思的話，你看前面給的式子應(yīng)該也看懂了。
n!!指的是，不超過n且與n同奇偶性的正整數(shù)的乘積。
這類問題我想很多人都見過。常規(guī)的操作是構(gòu)造冪級數(shù)然后求冪級數(shù)和函數(shù)的和。
即構(gòu)造
求冪級數(shù)的和函數(shù)呢，往往利用逐項求積或者逐項求導(dǎo)的方法。
這里我們要做的應(yīng)該是把分母消掉，所以應(yīng)該逐項求導(dǎo)。
哦，這里我們可以看到，如果我們在h'(x)里提出一個x，那么h(x)就會再現(xiàn)。
ok,這樣的話，我們h（x）就是上面那個微分方程的解了。
那么問題來了，這個微分方程怎么解呢？
首先判斷類型，這個微分方程是一個一階非齊次線性常微分方程。
沒錯吧。這里的h（x）就是y,P(x)=-x,Q(x)=1
而這類微分方程的求解我們是有公式的。
就這玩意。
但是公式里有待定的數(shù)C(大多數(shù)微分方程的解都有很多很多個，所以才會有待定的數(shù)C）
但對我們而言，C是能夠被確定的。
因為h(0)你看一下，是不是0??？
所以，把上面的條件代入就可以了。
結(jié)果是
你問我為什么不把積分號里面的玩意積出來？
拜托，那個結(jié)果無法用初等函數(shù)表示的。
繼續(xù)咱們的思路，現(xiàn)在當(dāng)x=1的時候h(1)就是答案了。這里你會發(fā)現(xiàn)
看過
的朋友或許會對這個結(jié)果表示熟悉。
因為這里又出現(xiàn)鐘形曲線。不過對這期專欄來說，這個結(jié)果并不夠有趣。
2.一個“有趣”連分式
第二部分咱們來考量一個和前面的微分方程有點像的玩意。
為了方便，我們可以令y=f（x）
小標(biāo)題提到了“連分式”，那我們就來試試用它構(gòu)造一個連分式。
和前面差不多，我們對y“逐項求導(dǎo)”。
y'=xy-1
y''=xy'+1y
y'''=xy''+2y
y''''=xy'''+3y
......
這里你或許看不出什么，那如果我兩邊同時除以x邊上的那個導(dǎo)數(shù)呢?
y'/y=x-1/y
y''/y=x+1y/y'
y'''/y''=x+2y'/y''
y''''/y'''=x+3y''/y'''
......
發(fā)現(xiàn)了嗎？他們頭尾相等了。
這不就可以迭代了。
第一個式子里的y格格不入，而且它可以承擔(dān)前面類似和函數(shù)的作用。
所以我們變形一下全部的式子。把最右邊那一列移到等號左邊，第一列移到右邊，然后分子分母顛倒以把y單獨拎出來。
這樣的話就是
......
于是我們就可以迭代了。
兩個負號抵消就是
（你可以試著倒過來，由這個連分式得到前面的微分方程。如果你有什么自然的方法也歡迎發(fā)到評論區(qū)）
3.所以。。。"有趣"在哪里？
啊對啊，所以有趣在哪里呢？
前面那個微分方程我們依然能解的對吧。
解出來的結(jié)果有點恐怖哦。
如果我們把h（x）和f（x）加起來，那么積分部分剛好就拼在一起了。
而這個積分在[0，+∞）的結(jié)果是可以利用轉(zhuǎn)成二重積分算出來的。
結(jié)果是
那么就有
當(dāng)x=1時,就有
而e的1/2次方就是根號e
h(1)和f(1)我們前面有結(jié)論,代入得
這個式子是由拉馬努金（又是那個恐怖如斯的男人）提出的。
這個式子既有級數(shù)又有連分數(shù)，還有πe根號，屬實是把各個要素湊齊了。
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